Spektralgeometrische Untersuchung des fermionischen Signaturoperators im global hyperbolischen Kontext
Das Promotionsvorhaben beschäftigt sich mit dem fermionischen Signaturoperator σ. Dieser wird aus Lösung der Dirac-Gleichung gebildet und enthält somit viele Informationen des zugrundeliegenden Systems. Ziel der Promotion ist es, diese Informationen durch spektralgeometrische Methoden auf Lorentzschen Mannigfaltigkeiten zu gewinnen. Dies ist mathematisch interessant, da der, sonst so häufig betrachtete, Riemannsche Fall nicht im Vordergrund steht und die Methodik im Lorentzschen Fall erweitert werden kann. Weiterhin wird die Geometrie des Universums in der Allgemeinen Relativitätstheorie [ART] modelliert als eine global hyperbolische Mannigfaltigkeit, was dieses Thema auch aus physikalischer Sicht relevant macht.
Zusammengefasst geht es darum, unser Universum besser zu begreifen. Durch ein tieferes Verständnis, wie Geometrie in jenem beschrieben werden kann, können Beiträge zur allgemeineren Frage der Vereinheitlichung von Gravitation und Quantenmechanik geliefert werden. Gesellschaftlich ist der Nutzen dieser Arbeit schwer abzuschätzen, weil es sich um Grundlagenforschung handelt. Da die Probleme aber primär im Gebiet der ART und des Standardmodells anzusiedeln sind, können die Erkenntnisse technischen Fortschritt begünstigen, welcher sich wiederum positiv auf die Gesellschaft ausübt. Dabei unterteilt sich die Arbeit in zwei größere Abschnitte. Im ersten Teil wird der Signaturoperator auf “klassischen” Mannigfaltigkeiten betrachtet. Das Wort “klassisch” bezieht sich auf den Vergleich zum Begriff der Raumzeit in sogenannten kausalen Fermionensystemen.
In dieser Theorie wird die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit in einem verallgemeinerten Kontext durch ein Tripel (H, F, ρ) beschrieben. Um σ auf Mannigfaltigkeiten mit unendlicher Lebensdauer berechnen zu können, wird die Methodik der starken Massenoszillationseigenschaft verwendet. Als erstes wird versucht, mittels des ferminonischen Signaturoperators, in einer Reissner- Nordström Geometrie, die ausgestrahlte Hawkingstrahlung des schwarzen Lochs zu bestimmen. Wenn dies gelingt, besteht nachfolgend die Möglichkeit, dies für den allgemeinsten Fall, einer Kerr-Newmann Geometrie, zu erweitern. Darauffolgend wird das Spektrum von verschiedenen σ berechnet und versucht geometrische Eigenschaften der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeiten abzulesen. Durch die bereits erwähnte starke Massenoszillationseigenschaft wird besonders die Geometrie im Unendlichen fokussiert. Deshalb stehen Aussagen über die Asymptotik der Metrik bzw. Einflüsse der ADM-Masse besonders im Vordergrund.
Der zweite Abschnitt beschäftigt sich damit, das eben beschriebene Prozedere auf kausale Fermionensystem zu verallgemeinern. Dabei dienen die bereits erhaltenden Ergebnisse als Vergleichswerte, welche mit etwaigen neuen Resultaten in Verbindung gebracht werden müssen. Dafür werden zunächst die korrespondierenden kausalen Fermionensystem zu den klassischen Mannigfaltigkeiten gebildet. Anschließend kann der fermionische Signaturoperator σΩ f ̈ur beschränkte Teilgebiete Ω berechnet werden. Schlussendlich wird versucht, das Pendant einer starken Massenoszillationseigenschaft im Kontext kausaler Fermionensysteme zu definieren, um den ferminonischen Signaturoperator σρ global zu bestimmen. Ist dies möglich, könnte durch eine Identifikation σ ≃ σρ neue geometrischen Größen im kausalen Fermionensystem definiert werden.